Na czym polega nauka matematyki i jak w tym pomagać dziecku

Na przykładzie podręcznika GWO „Matematyka z plusem”

Zanim zaczniesz czytać, zastanów się, po co Twojemu dziecku matematyka. Bardzo wiele osób wykorzystuje w życiu wyłącznie cztery podstawowe działania i procenty i nie jest z tego powodu nieszczęśliwych. Być może nie ma sensu wywierać presji na matematykę w szkole. Jeśli dziecko ma same dwójki, to najprawdopodobniej nie będzie umysłem ścisłym, ale to nie jest przecież konieczność życiowa… Jeśli jednak Ci zależy na tym, żeby matematykę umiało, dobrze jest zacząć od ustalenia z dzieckiem, czemu uważasz to za ważne, i wypracowania konsensusu, żeby wszystkim Wam na tym zależało. Co wcale nie musi być proste.

Podręcznik „Matematyka z plusem” zakłada pewną strategię nauczania matematyki. Jej poznanie powinno ułatwić pomaganie dzieciom w nauce tego przedmiotu. Poniżej znajdziesz ważne wskazówki. Ich omówienie pojawi się dalej.

1. Zadbaj o biegłą znajomość tabliczki mnożenia i słupków
2. Zadbaj o systematyczne odrabianie prac domowych
3. Sprawdzaj prace domowe i dbaj o poprawienie błędów (i nie krzycz przy tym, to bez sensu)
4. Systematyczną naukę w domu zacznij od początku września
5. Wspieraj dziecko w mierzeniu się z trudnościami programu
6. Jak najwcześniej nadrób zaległości
7. Wyślij dziecko na kurs do egzaminu ósmoklasisty z matematyki

Oczywiście są dzieci, które postanawiają, że nie będą matematyki umieć, czyli nie będą robić ćwiczeń, zadań itd. Jak dziecko postanowi, że nie będzie umieć, to nie będzie. Jak kiedyś w przyszłości zmieni zdanie, zacznijcie od wskazówki nr 1.

Wskazówka 1: Zadbaj o biegłą znajomość tabliczki mnożenia i słupków

W klasie 4 wprowadzone zostają podstawowe działania metodą pisemną (słupki, działania „pod kreską”). To jest ostatni moment, żeby dziecko nauczyło się tabliczki mnożenia. Od tego czasu nieznajomość tabliczki mnożenia będzie blokować ucznia w zdobywaniu nowych umiejętności matematycznych w kolejnych miesiącach i utrudniać zdobywanie nawet średnich ocen. 

Biorąc pod uwagę, jak dramatycznie nieznajomość tabliczki mnożenia wpływa na dalsze losy z matematyki, a którą to nieznajomość obserwuję u uczniów z klas od 4 do 8, podkreślam, że pierwszym krokiem w uzupełnianiu zaległości jest doprowadzenie do biegłości w tabliczce mnożenia. Uczeń powinien umieć bez wahania podawać wyniki mnożenia liczb od 0 do 10 ORAZ DZIELENIA, czyli w odwrotną stronę. Dokładnie do samo dotyczy działań metodą pisemną, czyli słupków.

Także w klasie 4 zostają wprowadzone podstawowe wiadomości z zakresu algebry i geometrii, które będą powtarzane (z niewielkimi uzupełnieniami) aż do połowy siódmej klasy. Tempo nauczania w 4 klasie jest bardzo szybkie i często determinuje dalsze losy uczniów. Ci, którzy nie nauczą się tych tematów w czwartej klasie, będą powtarzać to, czego nie umieją, w kolejnych klasach, ale bardziej intensywnie, co bez odpowiedniego wsparcia może skutkować (i często skutkuje) powtarzaniem frustracji i pogłębianiem niezrozumienia, i narastaniem braku umiejętności. Można to ująć w ten sposób: mnożenie zera daje zera, mnożenie jedynki nadal daje jedynkę. Powtarzanie w kółko tego, czego się nie umiało, wcale nie powoduje naumienia.

Ostatnim rokiem, w którym są powtarzane tematy wprowadzane od początku szkoły podstawowej, jest klasa szósta i jest to ostatnia okazja do w miarę bezbolesnego nadrobienia zaległości. W kolejnych latach tempo przyspiesza i zagadnienia stają się coraz trudniejsze.

Wskazówka 2: zadbaj o systematyczne odrabianie prac domowych

Czwarta klasa jest ważnym etapem o tyle, że aby uniknąć problemów, trzeba zacząć ćwiczyć matematykę systematycznie. To ostatni sensowny moment. Kluczem są prace domowe i zadania ze zbioru zadań, odrabiane systematycznie (codziennie lub prawie codziennie). Układ nerwowy znacznie efektywniej się uczy po 20 min dziennie niż raz na jakiś czas przez kilka godzin. A ten ostatni pomysł jest powszechny w Polsce (na tym polega „powtarzanie przed klasówką”). Powtarzanie przed sprawdzianem bez systematycznej nauki nie jest receptą na naukę matematyki i w pewnym momencie przestanie działać. Kwestia szczebla systemu edukacji, u jednych przestaje działać w klasie 4, u innych w 8, u jeszcze innych w szkole średniej.

To, że czasem trafiają się dzieci wybitnie uzdolnione, którym takie powtórzenia wystarczają, nie oznacza, że jest to sensowna metoda nauki!

Dlaczego systematyczna nauka jest ważna?

Nauka czegokolwiek, a matematyki w szczególności, polega na wykonaniu licznych powtórzeń procesu:

ćwiczenie – błędy – informacja o błędach – ponowne ćwiczenie

i to o rosnącym stopniu trudności. 

Teraz trzeba sobie uświadomić, że czy to w szkole, czy na zajęciach dodatkowych realizowane jest wyłącznie zrozumienie tematu, a i to nie zawsze. Przyczyną jest m.in. brak czasu – program nauki matematyki zakłada wprowadzanie non stop nowych tematów (ok. 8 w ciągu miesiąca!). Każdy temat wymaga sporej ilości ćwiczeń, różnej dla różnych dzieci. Z uwagi na naturalne procesy zapominania samo zrozumienie nie zastępuje tych ćwiczeń, czyli odrabiania prac domowych i ewentualnie dodatkowych zadań ze Zbioru zadań (bardzo dobre są Zbiory ćwiczeń „z plusem”, będące uzupełnieniem omawianego podręcznika). Ćwiczenia w domu prowadzą do opanowania zagadnienia, które zostało zrozumiane.

Zrozumienie nie jest dane raz na zawsze, bo zaczyna ulegać zapominaniu. Dopiero liczne powtórzenia (prace domowe!) zapewniają opanowanie danego tematu. >Zrozumienie< i >opanowanie< tematu to na poziomie mózgu dwa odmienne biologicznie procesy!

Wskazówka 3: sprawdzaj prace domowe i dbaj o poprawienie błędów

Tu rodzice popełniają stosunkowo często dwa błędy:

1. nie sprawdzają już zrobionej pracy domowej – takie odrabianie tylko utrwala błędy, które dziecko robi (a wciąż robi – to normalne! uczenie się na błędach jest wpisane w naukę matematyki; warunkiem skutecznej nauki jest objaśnienie błędu i ponowne zrobienie zadania, z uwagą nakierowaną na uniknięcie tego samego błędu)
2. krzyczą lub robią dziecku wyrzuty w razie błędów – jest to niepotrzebne i antyedukacyjne. Błąd jest normalną częścią procesu uczenia się i jest zjawiskiem dobrym, tylko trzeba go odpowiednio omówić i przećwiczyć ponownie. A jak trzeba, to wiele razy. Jeśli dziecko nadal robi błędy, trzeba dojść do przyczyny, wyeliminować ją i znowu poćwiczyć. Czasami przyczyną jest niejasne tłumaczenie, czasami strach, czasami uwarunkowania neurobiologiczne, czasami utrwalone błędne przekonania o działaniach matematycznych, wcale niełatwo jest dociec…

Miałem kiedyś ucznia, który nie radził sobie kompletnie z matematyką i otrzymywał same jedynki. Nienawidził tego przedmiotu. Miał rozpoznane wszelkie możliwe dys-: dyskalkulię, dysgrafię, dysleksję, testów to potwierdzających miał zrobionych co niemiara. Zaciekawiło mnie, jak liczy, że mu to nie wychodzi, i zauważyłem, że problem leży wyłącznie w dodawaniu i odejmowaniu w pamięci, gdy wynik ma przekroczyć 10. Nauczony był to robić w zbyt skomplikowany sposób. W klasie szóstej uniemożliwiało mu to zdobycie choćby dwójki niezależnie od tematu. W kilka lekcji naumieliśmy się innej metody dodawania i odejmowania i ulubionym zajęciem ucznia stały się od tej pory… działania na ułamkach dziesiętnych w słupkach. Robił je odtąd namiętnie i bez pomyłki, niczym komputer.

Wskazówka 4: systematyczną naukę w domu zacznij od początku września

W kolejnych klasach są powtarzane te same tematy, w równie szybkim tempie, uzupełniane o nowe zagadnienia, ale warto wiedzieć, że (dotyczy programu zgodnego z omawianym podręcznikiem):

• we wrześniu niezależnie od klasy powtarzana jest zwykle cała lub prawie cała algebra z lat poprzednich. To olbrzymia ilość materiału, która będzie sprawdzona na koniec września i oczekiwane jest biegłe jej opanowanie (działań pisemnych, działań na ułamkach, właściwości liczb, podstawowego potęgowania…). Biorąc pod uwagę, że we wrześniu spora część uczniów mentalnie wciąż jest w okresie wakacji, a ilość materiału jest przytłaczająca, nie jest niczym niezwykłym pojawienie się złych ocen na koniec września. Kluczem jest rozpoczęcie systematycznej nauki od samego początku września, natomiast kiepskim pomysłem – uczenie się dopiero tuż przed sprawdzianem 
• kolejne tematy w następnych miesiącach mogą wymagać biegłej znajomości działań powtarzanych we wrześniu, stąd nieopanowanie tematów wrześniowych automatycznie rzutuje na ocenę w listopadzie, styczniu czy nawet w marcu – z czego wielu rodziców nie zdaje sobie sprawy!

Wskazówka 5: wspieraj dziecko w mierzeniu się z przeciwnościami programu

Może już się zorientowaliście, że tak naprawdę nauka matematyki dzieje się w dużej mierze poza szkołą. System edukacji wymaga pracy w domu. Możesz załatwić korepetycje, ale żaden kurs, żadne korepetycje nie zwolnią z systematycznego odrabiania prac domowych, bo tylko one zapewniają opanowanie tematu. A program potrafi utrudniać naukę, oto przykłady (podkreślam, że dotyczą programu realizowanego w oparciu o konkretny podręcznik; każdy podręcznik ma zalety i wady):

• w klasie 6 pojawia się temat „prędkość, droga, czas”, który „normalnie” (z punktu widzenia dorosłego wykształconego w starym systemie) nie przedstawia trudności, jeśli uczeń umie przekształcać wzory. Niestety nauka przekształcania wzorów jest realizowana dopiero w klasie 7, więc uczniowie mierzą się z tematem w inny sposób. Wymaga to umiejętnego wspomagania, na pewno bez emocji, jeśli próbujecie pomóc dziecku w domu
• w klasie 6 również pojawia się temat skali, który jest trudny do zrozumienia z powodu abstrakcyjności i postępu technologicznego (tradycyjne mapy zastąpiły smartfony). Nauka działania skali w tych warunkach również wymaga umiejętnego wspomagania
• w klasie 7 w II semestrze realizowany jest temat działań na potęgach i zaraz po nim działań na pierwiastkach. Oba te tematy wymagają znacznie większej liczby godzin niż jest zwykle na nie przeznaczana (zwłaszcza na pierwiastki, które z racji dużego stopnia abstrakcyjności regularnie sprawiają problemy uczniom jeszcze w ósmej klasie i w szkole średniej również)
• w klasie 7 wprowadzane są także zadania z treścią, które należą do najczęstszych wyzwań, z jakimi uczniowie się nie dają rady się zmierzyć. Przyczyną jest zbyt mała ilość czasu przeznaczona w programie na przerobienie wszystkich rodzajów zadań z treścią oraz nienauczenie uczniów analizy treści i procesów rozwiązywania zadań w latach poprzednich (najczęściej również z powodu zbyt małej ilości czasu)
• i wreszcie temat papierowej matematyki: zadań na sprawdzianach potrafi być zbyt dużo i są za trudne. O papierowej matematyce poczytaj w raporcie Najwyższej Izby Kontroli z 2019 r. W międzyczasie jeszcze weszły lekcje online…

Wskazówka 6: jak najwcześniej nadrób zaległości

Im więcej klas dziecko przeszło z zaległościami, tym większe one są i tym więcej czasu i pieniędzy będzie kosztowało ich nadrobienie. W klasie ósmej zaległości ciągnące się często od klasy czwartej (czasem od pierwszej!) wymagają już kilku godzin pracy tygodniowo, przez cały rok szkolny. I bez nadziei na szybką poprawę ocen, bo program prze do przodu bardzo dynamicznie:

• w klasie 8 we wrześniu powtarzana jest praktycznie całość algebry z lat poprzednich. Tempo jest bardzo wymagające nawet dla dobrych uczniów. W kolejnym miesiącu powtarzane są obszerne zagadnienia wyrażeń algebraicznych, równań i zadań z treścią (przy czym dodawane są kolejne typy zadań). To, co nie było opanowanie w klasie 7, nie ma szans, z uwagi na tempo, być opanowanie w klasie 8
• następnie w okolicy listopada, grudnia, wprowadzany jest nowy temat: twierdzenie Pitagorasa, które ćwiczone jest intensywnie w wielu odmianach zadań. Zmęczenie uczniów poprzednimi miesiącami szkoły (a przecież nie uczą się tylko matematyki), tradycja niewysypiania się, wstawanie wczesnym rankiem, krótszy dzień i lekceważenie prac domowych znacznie przyczyniają się na tym etapie do porażki w temacie twierdzenia Pitagorasa. Zalecam wysypianie się i systematyczne odrabianie prac domowych / robienie zadań ze zbioru zadań
• kolejne etapy ósmej klasy to szybkie powtórzenie procentów z dołączeniem zasad działania lokat bankowych, podatku od zarobków i VAT (każde działa inaczej, mimo że są podobne – to znacznie utrudnia opanowanie tych tematów) oraz zaawansowane ćwiczenia z bryłami, wymagające sporej wyobraźni przestrzennej i biegłego opanowania twierdzenia Pitagorasa (którego uczeń może nie mieć opanowanego z powodów wyżej wzmiankowanych). Dodajmy, że bryły realizowane są zawsze na koniec roku szkolnego, a w ostatnich 3 latach w tym okresie mieliśmy: a) strajk nauczycieli, b) pierwszą falę pandemii, c) trzecią falę pandemii. 

Program ósmej klasy zakłada, że tych trzech wydarzeń w ogóle nie było!

Na sam koniec ósmej klasy pojawia się temat kombinatoryki, który to temat jest zmorą uczniów szkoł średnich i to ostatnich lat. Coś, co jest wyjątkowo trudne dla uczniów ostatnich lat liceów i techników, pojawia się w klasie ósmej i to bez wytłumaczenia wzorów ani rozróżniania sytuacji, z którymi uczniowie mają do czynienia, jako jeden wielki miszmasz zadań (z użyciem wariacji, permutacji i kombinacji), które to pojęcia nie są nawet objaśniane – uczeń ma mimo to umieć pokonywać takie problemy! Można domniemywać, że umieszczenie tego tematu na samym końcu podręcznika jest wyrazem „przymknięcia oka”, bo w czerwcu oceny są już wystawione i nie trzeba się uczyć kombinatoryki. Niektórzy nauczyciele realizują ten temat jednak w środku roku szkolnego i proszę się nie dziwić druzgocącym wynikom sprawdzianów. 

Wskazówka 7: znajdź kurs do egzaminu ósmoklasisty z matematyki

Na koniec warto dodać, że egzamin ósmoklasisty w około 3/4 sprawdza wiedzę z klas 1-7, więc program klasy ósmej nijak nie przygotowuje do egzaminu ósmoklasisty, czego niesłusznie oczekują uczniowie i rodzice. Smaczku dodaje fakt, że regularnie na egzaminie pojawiają się zadania, których uczniowie nigdy na oczy nie widzieli. To ma sprawdzać umiejętność abstrakcyjnego myślenia, kojarzenia i wyłaniać najlepszych, ale do tego trzeba przerobić z chęcią i zrozumieniem naprawdę wiele różnorodnych zadań.

Warto też sobie uzmysłowić, że najczęściej otrzymywaną oceną z egzaminu ósmoklasisty jest ok. 20%, co nijak się ma do podawanej w mediach średniej 45%. Średnia ta jest prawdziwa, ale w żaden sposób nie odzwierciedla dramatycznej zapaści nauczania matematyki, z jaką mamy do czynienia od wielu lat. Powtórzmy ponownie: najwięcej uczniów otrzymuje ok. 20% punktów na egzaminie ósmoklasisty z matematyki. Rozbieżność ze średnią bierze się z tego, że rozkład wyników nie ma charakteru normalnego, bo szczyt krzywej jest silnie przesunięty w lewo. Komunikowanie przez media głównie wartości średniej jest ukryciem ekstremalnego i trudnego do rozwiązania problemu. 

A potem jest szkoła średnia, tematy znacznie trudniejsze, tempo jeszcze szybsze i mamy do czynienia z efektem kuli śnieżnej: w 2021 r. matury z matematyki nie zdało 50 tysięcy uczniów (jedna piąta!).

Podsumowanie

Za sukces w matematyce odpowiadają oczywiście liczne czynniki, nie tylko systematyczność nauki. Ale to, w tym regularne sprawdzanie prac domowych i zapewnienie przyjaznej atmosfery (bez wyrzutów, bez krzyków) jest absolutną podstawą edukacji matematycznej.  Mam nadzieję, że po przeczytaniu tego tekstu zdają sobie Państwo sprawę, że dzieci często mierzą się z zadaniami ponad ich siły – czasem z winy własnych zaniedbań, czasem niestety nie.

Andrzej Balcerzak (lionheart.edu.pl)